Question

4．已知抛物线y=a（x²-cx-2c²）（a＞0）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C
（1）取A（-1，0），则点B坐标为（2，0）；
（2）若A（-1，0），a=1，点P在第一象限的抛物线，以P为圆心$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$为半径的圆恰好与AC相切，求P点坐标；
（3）如图，点R（0，n）在y轴负半轴上，直线RB交抛物线于另一点D，直线RA交抛物线于E，若DR=DB，EF⊥y轴于F，求$\frac{EF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）将A的坐标代入，求出c即可得出点B的坐标，把a，c代入点C的坐标即可；
（2）如图1中，作CE⊥AC交x轴于E，在x轴上取一点F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．当FG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$时，点P到直线AC的距离也是$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，此时以P为圆心$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$为半径的圆恰好与AC相切，想办法求出直线PF的解析式，利用方程组求交点P的值坐标即可．
（3）利用DR=DB得出点D的坐标，而点D在抛物线上，即可得出R的坐标，进而求出直线AR的解析式即可得出点E的坐标，求出EF、AB即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），
∴A（-c，0），B（2c，0），C（0，-2ac²），
当A（-1，0）时，∴-c=-1，
∴c=1，
∴2c=2，
∴B（2，0），
故答案为（2，0）．

（2）∵a=1，c=1
∴B（2，0），C（0，-2），
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2
如图1中，作CE⊥AC交x轴于E，在x轴上取一点F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．

当FG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$时，点P到直线AC的距离也是$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，此时以P为圆心$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$为半径的圆恰好与AC相切，
∵∠OAC=∠CAE，∠AOC=∠ACE=90°，
∴△AOC∽△ACE，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{OC}{EC}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{AE}$=$\frac{2}{EC}$，
∴AE=5，EC=2$\sqrt{5}$，
∵EC∥FG，
∴$\frac{EC}{FG}$=$\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{AF}$，
∴AF=6，
∴F（5，0），
∵直线AC的解析式为y=-2x-2，
设直线PF的解析式为y=-2x+b，把（5，0）代入得b=10，
∴直线PF的解析式为y=-2x+10，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+10}\\{y={x}^{2}-x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∵点P在第一象限，
∴P（3，4）．

（3）如图2中，

∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），
∴D（c，$\frac{1}{2}$n），
∵点D在抛物线y=a（x²-cx-2c²）上，
∴a（c²-c²-2c²）=$\frac{1}{2}$n，
∴n=-4ac²，
∴R（0，-4ac²），
∵A（-c，0），
∴直线AR的解析式为y=-4acx-4ac²①，
∵点E在抛物线y=a（x+c）（x-2c）②上，
联立①②得，E（-2c，-12ac²），
∴EF=2c，AB=3c，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二元二次方程组等知识，解本题的关键是把抛物线的解析式y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），利用了方程的思想求解问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．