Question

9．如图1，半径为2 的⊙P与x轴相切，并在x轴上从左向右平移．直线y=kx-4分别交x轴、y 轴的负半轴于B、A两点．在⊙P平移过程中，圆心P刚好经过直线AB上的点Q（-8，a）．

（1）求k值．
（2）⊙P从Q点出发，以每秒1个单位速度向右平移，
①同时，直线AB绕A点逆时针匀速旋转，当⊙P第二次与y轴相切时，直线AB也第二次与⊙P相切，求直线AB每秒钟旋转的度数．
②如图2，第9秒钟时，⊙P与y轴相交，PH⊥y轴于H点，E为第一象限⊙P上一点，EF⊥OH交线段OH于F点，M为PE中点，当FH²-FM²有最大值时，求E点坐标．

Answer 1

分析 （1）由于圆与x轴相切，故Q点的纵坐标就是圆的半径长，即a=2，将Q点坐标代入直线解析式即可求出k．
（2）①画出第二次相切的图形，求出此时旋转直线所对应的直线解析式，进而确定直线旋转了多少度，利用圆心的平移算出时间，那么直线每秒钟旋转多少度就直线可求了．
（3）设出动点E的坐标，将FH²-FM²用E点的横坐标与纵坐标表示出来，再利E点与圆心的距离为2列出等式，巧妙消去纵坐标，将FH²-FM²表示成E点横坐标的二次函数，通过配方求出最大值，进面确定E点坐标．

解答 解：（1）
∵⊙P与x轴相切，
∴a=2，
∴Q（-8，2），
将Q点坐标代入直线y=kx-4可求得k=-$\frac{3}{4}$．
（2）①第二次相切时，如图1所示，直线AB旋转到了AC的位置，

⊙P与y轴相切于点D，与直线AC相切于点C，AP与CD交于点E，
此时P点的坐标为（2，2）
又∵A（0，-4），
∴直线AP的解析式为y=3x-4，设C点坐标为（m，n），
∵AD、AC均为⊙P的切线，
∴AD=AC，
在△PDA与△PCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PC}\\{PA=PA}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△PDA≌△PCA（SSS），
∴点C与点D关于AP对称，
∴AP垂直平分CD，点E为CD中点，
∵D（0，2），
∴E点的坐标为（$\frac{m}{2}$，$\frac{n+2}{2}$），
∵点E在直线AP上，
∴$\frac{n+2}{2}$=$\frac{3m}{2}$-4，①
∵CD⊥AP，
∴直线CD的斜率为-$\frac{1}{3}$，
则直线CD的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+2，
又∵点C在直线CD上，
∴n=-$\frac{1}{3}$m+2，②
联立①②解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{18}{5}}\\{n=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{18}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴直线AC的解析为y=$\frac{4}{3}$x-4，
∴-$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{3}$=-1，
∴AC与AB垂直，
∴第二次相切时，直线AB旋转了270°，
∵t=$\frac{PQ}{1}$=$\frac{10}{1}$=10（秒），
∴270°÷10=27°，
即直线AB每秒钟旋转27度．
②第9秒钟时，如图2所示，

此时，P点的坐标为（1，2），
设E点的坐标为（a，b），
则F点的坐标为（0，b），
∵M点是PE中点，
∴M点人坐标为（$\frac{a+1}{2}$，$\frac{b+2}{2}$），
∴FH²=（2-b）²=b²-4b+4，
FM²=（$\frac{a+1}{2}$-0）²+（$\frac{b+2}{2}$-b）²=$\frac{1}{4}$[（a+1）²+（2-b）²]，
∴FH²-FM²=（2-b）²-$\frac{1}{4}$[（a+1）²+（2-b）²]=$\frac{3}{4}$（2-b）²-$\frac{1}{4}$（a+1）²，
又∵PE=2，
∴（a-1）²+（b-2）²=4，
∴（2-b）²=4-（a-1）²，
∴FH²-FM²=$\frac{3}{4}$[4-（a-1）²]-$\frac{1}{4}$（a+1）²=-a²+a+2=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，FH²-FM²有最大值$\frac{9}{4}$，
此时，（$\frac{1}{2}$-1）²+（b-2）²=4，
解得b=2+$\frac{\sqrt{15}}{2}$或b=2-$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
∴FH²-FM²有最大时，E点坐标为（$\frac{1}{2}$，2+$\frac{\sqrt{15}}{2}$）或（$\frac{1}{2}$，2-$\frac{\sqrt{15}}{2}$）．

点评 此题主要考查了平移、旋转、圆的性质、直线解析式的求法，直线与直线的位置关系、两点间的距离公式，代数法求最值等多个知识点，综合性很强，对同学们逻辑分析能力、空间想象能力以及计算能力要求较高，是一道不错的压轴题．