Question

3．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADC=135°，AB=8$\sqrt{3}$，BC=6$\sqrt{7}$，∠BAC=60°，求CD的长．

Answer 1

分析 过C作CE⊥AD交AD 的延长线于E，CF⊥AB于F，由∠BAC=60°，于是得到CF=$\sqrt{3}$AF，根据勾股定理列方程（6$\sqrt{7}$）²=（8$\sqrt{3}$-AF）²+（$\sqrt{3}AF$）²，求得AF=5$\sqrt{3}$，由于∠ADC=135°，于是得到∠CDE=45°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：过C作CE⊥AD交AD 的延长线于E，CF⊥AB于F，
∵∠BAC=60°，
∴CF=$\sqrt{3}$AF，
∵BF=AB-AF=8$\sqrt{3}$-AF，
在Rt△BCF中，BC²=BF²+CF²，
即（6$\sqrt{7}$）²=（8$\sqrt{3}$-AF）²+（$\sqrt{3}AF$）²，
解得：AF=5$\sqrt{3}$，
∵∠ADC=135°，
∴∠CDE=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$CE=5$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了勾股定理，特殊角的三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．