Question

AB为⊙O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．
（1）求证：CM=DN；
（2）若AB=10，CD=8，求BN+AM的值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,梯形中位线定理

专题：

分析：（1）过点O作OE⊥MN于点E，根据垂径定理可知CE=DE，再根据AM⊥CD于M，BN⊥CD于N可知AM∥OE∥BN，由点O是AB的中点可知，OE是梯形ABNM的中位线，故ME=NE，由此可得出结论；
（2）连接OC，根据勾股定理可得出OE的长，再根据（1）中OE是梯形ABNM的中位线即可得出结论．

解答：（1）证明：过点O作OE⊥MN于点E，
∵OE⊥MN，
∴CE=DE．
∵AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∴AM∥OE∥BN，
∵点O是AB的中点，
∴OE是梯形ABNM的中位线，
∴ME=NE，
∴ME-CE=NE-DE，即CM=DN；

（2）连接OC，
∵AB=10，
∴OC=5．
∵OE⊥MN，CD=8，
∴CE=4，
∴OE=

OC2-CE2

=

52-42

=3，
∵由（1）知OE是梯形ABNM的中位线，
∴BN+AM=2OE=6．

点评：本题考查的是垂径定理即勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．