Question

【题目】“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．

例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是　 　、　 　．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有　 　个圆圈；第n个点阵中有　 　个圆圈．

（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．

Answer 1

【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．

【解析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；

（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，

第2个图中3为一块，分为6块，余1；

按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．

图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，

故答案为：60个，6n个；

（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，

第2个点阵中有：2×3+1=7个，

第3个点阵中有：3×6+1=17个，

第4个点阵中有：4×9+1=37个，

第5个点阵中有：5×12+1=60个，

…

第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

故答案为：60，3n2﹣3n+1；

（2）3n2﹣3n+1=271，

n2﹣n﹣90=0，

（n﹣10）（n+9）=0，

n1=10，n2=﹣9（舍），

∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．