Question

已知：如图，点D是线段BC上的任意一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，AD与BE交于点F．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）求证：AB²=BC•AF；
（3）若BD=12，CD=6，求∠ABF的正弦值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由△ABD和△DCE都是等边三角形，得出BD=AD，DE=DC，∠FAB=∠ABC=∠ADB=∠EDC，进而得出∠BDE=∠ADC，即可求证△BDE≌△ADC；
（2）由△FAB∽△ABC，得出

AF

AB

=

AB

BC

，即可得出AB²=BC•AF，
（3）由△FAB∽△ABC，得出∠ABF=∠ACB，可求sin∠ACB，即可得出∠ABF的正弦值．

解答：证明：（1）∵△ABD和△DCE都是等边三角形
∴BD=AD，DE=DC，∠FAB=∠ABC=∠ADB=∠EDC=60°，
∴∠BDE=∠ADC． 
在△BDE和△ADC中，

BD=AD ∠BDE=∠ADC DE=DC

，
∴△BDE≌△ADC（SAS）；
（2）∵△BDE≌△ADC
∴∠DBE=∠DAC
∵∠ABC=∠ADB=60°
∴∠ABF=∠BCA
∵∠FAB=∠ABC，∠ABF=∠BCA，
∴△FAB∽△ABC，
∴

AF

AB

=

AB

BC

，
即AB²=BC•AF，
（3）如图，

∵△FAB∽△ABC
∴∠ABF=∠ACB，
过A作AM⊥BC于点M  
∵△ABD是等边三角形，BD=12
∴MD=6，AM=6

3

，
在Rt△AMC中，AC=

AM2+MC2

(6 3 )2+122

=6

7

，
∴sin∠ACB=

AM

AC

=

6 3

6 7

=

21

7

，
即sin∠ABF=

21

7

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是证出△FAB∽△ABC．