Question

已知x₁，x₂是关于x的方程x²+2（k-1）x+k²=0的两个实数根，是否存在常数k，使

1

x1

+

1

x2

=

3

2

成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先根据判别式的意义得到△=4（k-1）²-4k²≥0，解得k≤

1

2

，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²，把

1

x1

+

1

x2

=

3

2

变形得到

x1+x2

x1x2

=

3

2

，所以

-2(k-1)

k2

=

3

2

，解此方程得k₁=

2

3

，k₂=-2，然后根据k的范围确定k的值．

解答：解：存在．
根据题意得△=4（k-1）²-4k²≥0，解得k≤

1

2

，
∵x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²，
而

1

x1

+

1

x2

=

3

2

，
∴

x1+x2

x1x2

=

3

2

，
∴

-2(k-1)

k2

=

3

2

，
整理得3k²+4k-4=0，解得k₁=

2

3

，k₂=-2，
而k≤

1

2

，
∴k的值为-2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．