在平面直角坐标系中.点O是原点．直线l:y=-43x+83与x轴交于点A.过点B作BC⊥l.垂足为C.点D是直线BC上的一个动点,(1)求直线与y轴的交点P的坐标和线段BC的长度,(2)?①若CD=1.求点D的坐标,?②过点D作直线m∥l.交x轴于点E.连接CE.当点D在线段CB上运动时.求出使得三角形CDE的面积最大时点D的位置,?③在直线CB上是否存在点D使三角形CDE的面积� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系中，点O是原点．直线l：y=-

与x轴交于点A，过点B（-3，0）作BC⊥l，垂足为C，点D是直线BC上的一个动点；
（1）求直线与y轴的交点P的坐标和线段BC的长度；
（2）?①若CD=1，求点D的坐标；?
②过点D作直线m∥l，交x轴于点E，连接CE，当点D在线段CB上运动时，求出使得三角形CDE的面积最大时点D的位置；?
③在直线CB上是否存在点D使三角形CDE的面积等于

？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）令x=0，求得y的值即可求得P的坐标，根据△ABC～△APO即可求得BC的长；
（2）根据直线l的解析式求得直线BC的斜率，根据斜率即可求得

，?

，

，然后再根据BD的长即可求得DE、BE，进而求得OE，从而求得D的坐标；分类讨论：若点D在点C左边，若点D在点C右边两种情况求解；
（3）分类讨论即可求得．

解答：解：（1）令x=0，则y=

，
∴直线与y轴的交点P（0，

），
∵∠ACB=∠POA=90°，∠BAC=∠PAO，
∴△ABC～△APO，
∴

，
∵直线l：y=-

与x轴交于点A，过点B（-3，0），
∴A（2，0），
∵OP=

，OA=2，AB=5，
∴AP=

OA2+OP2

，
∴

，
∴BC=4；

（2）分类讨论：
若点D在点C左边，
∵CD=1，BC=4，
∴BD₁=3，
∵BC⊥l，直线l：y=-

，
∴直线BC的斜率为

，
∴

，
∴sin∠OBC=

，cos∠OBC=

，
∴cos∠OBC=

BE1

BD1

，sin∠OBC=

D 1E1

BD1

，
∴BE₁=

，D₁E₁=

，
∴OE₁=OB-BE₁=

，
∴D1(-

，

)，
若点D在点C右边，则BD₂=5，同理可证sin∠OBC=

D 2E2

BD2

，cos∠OBC=

BE2

BD2

，
所以D₂ E₂=3，BE₂=4，
∴OE₂=4-3=1，
∴D₂ （1，3）；

②如图2所示，设CD=a，则BD=4-a，
∵m∥l，BC⊥l
∴BC⊥m
∴△BDE是直角三角形，
∵tan∠DBE=

，
∴DE=

BD=

（4-a），
∴S_△CDE=

•

（4-a）a=-

（a-2）²+

，
∴当a=2时△CDE的面积最大，
此时D（-

，

）；

③如图3所示
当D在线段BC上时，由于△CDE的最大值是

，所以在线段BC上不存在这样的D点，
当D在C的右侧时，S_△CDE=

•

（a+4）a=

，
解得：a=2，此时D（

，

），
当D在B的左侧时，S_△CDE=

•

（a-4）a=

，
解得：a=6，此时D（-

，-

）；

点评：本题是一次函数的综合题，主要考查了直线与坐标轴的交点以及两条直线垂直或平行的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角函数的应用等，本题的关键是根据题意考虑全面，分多种情况分类讨论．

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