Question

1．如图，直线y=x+1与双曲线y=$\frac{2}{x}$交于A、B两点，其中A点在第一象限．C为x轴正半轴上一点，且AC⊥x轴于C，P为反比例函数图象上的一点，Q为x轴上的一点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在坐标平面内，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立直线与双曲线的解析式即可得出x，y的值，进而得出A、B两点的坐标，根据AC⊥x轴即可得出C点坐标；
（2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）设P（x，$\frac{2}{x}$），Q（a，0），再分AB是平行四边形的边与对角线两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）∵由题意可得$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=\frac{2}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}\right.$，
∴A（1，2），B（-2，-1）．
∵AC⊥x轴，
∴C（1，0）．

（2）∵A（1，2），B（-2，-1），C（1，0）．
∴AC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×（1+2）=3；

（3）存在．
设P（x，$\frac{2}{x}$），Q（a，0），
当AB为平行四边形的对角线时，
∵A（1，2），B（-2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+a}{2}=\frac{1-2}{2}\\ \frac{1}{x}=\frac{2-1}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ a=-3\end{array}\right.$，
∴P（2，1），Q（-3，0）．
当AB为平行四边形的边时，
∵A（1，2），B（-2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{2}=\frac{-2+a}{2}\\ \frac{2+\frac{2}{x}}{2}=\frac{-1}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2}{3}\\ a=\frac{7}{3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-2}{2}=\frac{a+1}{2}}\\{\frac{-1+\frac{2}{x}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{a=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{2}{3}$，-3），Q（$\frac{7}{3}$，0），或P（$\frac{2}{3}$，3），Q（-$\frac{7}{3}$，0），
综上所述，P（2，1），Q（-3，0）或P（-$\frac{2}{3}$，-3），Q（$\frac{7}{3}$，0）或P（$\frac{2}{3}$，3），Q（-$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到平行四边形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，在解答（3）时要进行分类讨论．