Question

10．（1）如图，在直线m的同侧有A，B两点，在直线m上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大（保留作图痕迹）

（2）平面直角坐标系内有两点A（2，3），B（4，5），请分别在x轴，y轴上找点P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大，则点P，Q的坐标分别为（$\frac{11}{4}$，0），（0，1）
（3）代数式$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值是10，此时x=$\frac{11}{4}$
（4）代数式$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最大值是2$\sqrt{2}$，此时x=-1．

Answer 1

分析 （1）①利用对称的性质即可解决问题．②利用三角形两边之差小于第三边即可解决问题．
（2）①点A关于x轴的对称点A′（2，-3），求出直线A′B即可解决问题．②求出直线AB的解析式即可解决问题．
（3）欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值，可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小．
（4）欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最大值，可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之和最大．

解答 解：（1）①作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B与直线m交于点P，此时PA+PB最小，点P如图所示．
②延长BA交直线m于Q，此时，|QB-QA|最大，点Q如图所示．


（2）点A关于x轴的对称点A′（2，-3），
直线A′B的解析式为y=4x-11，y=0时，x=$\frac{11}{4}$，
所以点P坐标（$\frac{11}{4}$，0）．
直线AB解析式为y=x+1，与y轴的交点为（0，1），
所以点Q坐标（0，1）．
故答案为（$\frac{11}{4}$，0），（0，1）

（3）∵$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$，
欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值，
可以看作在x轴上找一点P，使得点P到（4，5），（2，3）的距离之和最小，
由（2）可知x=$\frac{11}{4}$，最小值=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
故答案为10，$\frac{11}{4}$．

（4）∵$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$═$\sqrt{（x-4）^{2}+{5}^{2}}$-$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$，
欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最大值，
可以看作在x轴上找一点Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距离之和最大，
∵直线AB解析式为y=x+1，与x轴交于点Q（-1，0），
∴x=-1时，此时最大值=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$，-1．

点评 本题考查轴对称、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用对称确定最值问题，学会转化的思想思考问题，属于中考常考题型．