Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax²＋bx－3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4．

A(-1，0)、B(4，5)     ----------------------------1分

将A(-1，0)、B(4，5)分别代入y＝ax²＋bx－3中，

得

解得，．

∴所求解析式为y＝x²-2x-3   -------------------------3分

（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,

∠ACP=∠AEO=45°, ∴．   

设，则，

∴．     分

∴．

∴PD的最大值为．     

②当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1:2．