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【题目】如图,直线y=﹣3x+3x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得PCB≌△BOA(O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m.

(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式;

(2)当m为何值时,MAB面积S取得最小值和最大值?请说明理由;

(3)求满足∠MPO=POA的点M的坐标.

【答案】(1)点P的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)当m=0时,S取最小值,最小值为;当m=3时,S取最大值,最大值为5.(3)满足∠MPO=POA的点M的坐标为(0,4)或().

【解析】1)代入y=c可求出点C、P的坐标,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标,再由PCB≌△BOA即可得出b、c的值,进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式;

(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标,过点MMEy轴,交直线AB于点E,由点M的横坐标可得出点M、E的坐标,进而可得出ME的长度,再利用三角形的面积公式可找出S=﹣(m﹣3)2+5,由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值;

(3)分两种情况考虑:①当点M在线段OP上方时,由CPx轴利用平行线的性质可得出:当点C、M重合时,∠MPO=POA,由此可找出点M的坐标;②当点M在线段OP下方时,在x正半轴取点D,连接DP,使得DO=DP,此时∠DPO=POA,设点D的坐标为(n,0),则DO=n,DP=,由DO=DP可求出n的值,进而可得出点D的坐标,由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式,再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组,通过解方程组求出点M的坐标.综上此题得解.

(1)当y=c时,有c=﹣x2+bx+c,

解得:x1=0,x2=b,

∴点C的坐标为(0,c),点P的坐标为(b,c),

∵直线y=﹣3x+3x轴、y轴分别交于A、B两点,

∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,3),

OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b,

∵△PCB≌△BOA,

BC=OA,CP=OB,

b=3,c=4,

∴点P的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4;

(2)当y=0时,有﹣x2+3x+4=0,

解得:x1=﹣1,x2=4,

∴点F的坐标为(4,0),

过点MMEy轴,交直线AB于点E,如图1所示

∵点M的横坐标为m(0≤m≤4),

∴点M的坐标为(m,﹣m2+3m+4),点E的坐标为(m,﹣3m+3),

ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,

S=OAME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5,

<0,0≤m≤4,

∴当m=0时,S取最小值,最小值为;当m=3时,S取最大值,最大值为5;

(3)①当点M在线段OP上方时,∵CPx轴,

∴当点C、M重合时,∠MPO=POA,

∴点M的坐标为(0,4);

②当点M在线段OP下方时,在x正半轴取点D,连接DP,使得DO=DP,此时∠DPO=POA,

设点D的坐标为(n,0),则DO=n,DP=

n2=(n﹣3)2+16,

解得:n=

∴点D的坐标为(,0),

设直线PD的解析式为y=kx+a(k≠0),

P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,

,解得:

∴直线PD的解析式为y=﹣x+

联立直线PD及抛物线的解析式成方程组,得:

解得:

∴点M的坐标为().

综上所述:满足∠MPO=POA的点M的坐标为(0,4)或().

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求证:AE=2CD

拓展延伸:

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数量xkg

1

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