【题目】(1)已知:如图1,AB是的直径,点P为上一点(且点P不与A、B重合)连接PA,PB,的角平分线PC交于点C.
①若,求AB的长
②求证:
(2)如图2,在正方形ABCD中,,若点P满足,且,请直接写出点B到AP的距离.
【答案】(1)①,②见解析;(2)或
【解析】
(1)①由AB是的直径,在Rt中,利用勾股定理可求得AB的长;
②延长到,使,构造
和中,
在同圆中利用圆周角相等,所对弧相等,所对的弦相等,证明,
利用圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角,证明,
BD=PA为所作,所以(SAS)
从而证得:,
易证明是直角三角形,利用勾股定理可证明结论.
(2)要满足,P点一定落在正方形的外接圆上,分两种情况:
P点在上或P点在上,
在RtABC和RtAPC中,可求得AC、AP的长,
利用同圆中同弧所对圆周角相等,证得,
证得:RtQPB为等腰直角三角形,
设BQ=x,把已知和未知归结到RtQAB中,利用方程思想可以求得x的值.
(1)①AB是的直径,∴,
在Rt中,,
∴,
故答案是:
②如图,延长AB到D,使,连接
∵PC是的平分线,
∴,
四边形APBC是圆内接四边形,
∴
在和中,
∴(SAS)
∴,
∵
∴即
在Rt中,
即:
∴
(2)要满足,P点一定在正方形的外接圆上,分两种情况:
第一种情况,P点在上,如图:连接,作,
在中,,∴AC=,
在中,,由勾股数可得:,
,
在中,, ∴,
设,则,
在中,
即,化简得:
即,解得:,(不合题意,舍去)
故答案为:.
第二种情况,P点在上,如图:
依照第一种情况得出的数据,
在中,, ∴PE=BE,
设,则,
在中,
即,化简得:
即,解得:(不合题意,舍去),
故答案为:.
综上:点B到AP的距离是或.
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【题目】2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:.“解密世园会”、.“爱我家,爱园艺”、.“园艺小清新之旅”和.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李欣选择线路.“园艺小清新之旅”的概率是多少?
(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.
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【题目】如图,二次函数的图象的对称轴是直线,则下列理论:①, ②,③,④,⑤当时, 随的增大而减小,其中正确的是( ).
A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④
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【题目】速滑运动受到许多年轻人的喜爱。如图,四边形是某速滑场馆建造的滑台,已知,滑台的高为米,且坡面的坡度为.后来为了提高安全性,决定降低坡度,改造后的新坡面AC的坡度为.
(1)求新坡面的坡角及的长;
(2)原坡面底部的正前方米处是护墙,为保证安全,体育管理部门规定,坡面底部至少距护墙米。请问新的设计方案能否通过,试说明理由(参考数据:)
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【题目】如图,点O为斜边AB上的一点,以OA为半径的与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分
(2)若,,求阴影部分的面积.(结果保留)
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【题目】为纪念建国70周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》,《歌唱祖国》,《我和我的祖国》(分别用字母A,B,C依次表示这三首歌曲).比赛时,将A,B,C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌咏比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________;
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=9,BC=12,D是AB边的中点,P是BC边上一动点(点P不与B、C重合),若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似,则线段PC=__________.
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【题目】如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在轴上,点A在点B的左侧,点D在轴的正半轴上,,点A的坐标为.
(1)求D点的坐标.
(2)求直线AC的函数关系式.
(3)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为秒.求为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?
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【题目】新定义:对于关于的函数,我们称函数为函数y的m分函数(其中m为常数).
例如:对于关于x一次函数的分函数为
(1)若点在关于x的一次函数的分函数上,求的值;
(2)写出反比例函数的分函数的图象上y随x的增大而减小的x的取值范围: ;
(3)若是二次函数关于x的分函数,
①当时,求y的取值范围;
②当时,,则的取值范围为 ;
③若点,连结,当关于的二次函数的分函数,与线段MN有两个交点,直接写出m的取值范围.
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