Question

【题目】如图，在以为直径的半上有C，点在上，过圆心作的于点的延长线交于点，连结，若．

试说明；

若的面积为面积的倍，连接交于点，求的值和的长：

在的条件下，延长与的延长线相交于点，直接写的长

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接BC由垂径定理可得OF垂直平分CD，得出△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=∠CDE=45°，再根据圆的内接四边形的性质即可得出答案；

（2）连接OC、BD，得出 AE=3DE=，AD=，由勾股定理计算出AC的长度，再由圆周角定理证出△ABC是等腰直角三角形，得出BC、AC和AB的长度，进而由勾股定理得出BD的长度，再利用圆周角定理即可得出tan∠ACD的值；证明△PCF∽△ABD，利用相似比即可得出OP的长度；

（3）由等腰直角三角形的性质得出OC⊥AB，证明△OCG∽△EAG，利用相似比即可得出答案．

解：（1）证明：连接BC，如图1所示：

∵OF⊥CD

∴DF=CF

∴DE=EC

∵∠DEC=90°

∴△CDE是等腰直角三角形

∴∠DCE=∠CDE=45°

∴∠ABC=∠CDE=45°

∵AB是直径

∴∠ACB=90°

∴∠BAC=45°

（2）连接OC、BD，如图2所示：

∵DF=CF=1

∴CD=2，△CDE是等腰直角三角形

∴ED=EC=

∵△ACE的面积为△DCE面积的3倍

∴AE=3DE=，AD=

∴AC=

∵AB是半圆的直径

∴∠ACB=∠ADB=90°

∵∠BAC=45°

∴△ABC是等腰直角三角形

∴BC=AC=，AB=AC=2

∴OC=OA=OB=，BD=

∵∠ACD=∠ABD

∴tan∠ACD= tan∠ABD=

∵∠PFC=∠ADB=90°

∴△PCF∽△ABD

∴

解得：PF=

∵OF=

∴OP=OF-PF=

（3）如图3所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB

∴OC⊥AB

∴∠COG=∠DEC=90°

∵∠G=∠G

∴△OCG∽△EAG

∴

即

∴BG=，CG=