Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．

Answer 1

分析 先作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，证出BE=AF，OE=OF，可证Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．

解答 证明：如图，作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，

∵O是△ABC的外心，
∴OE=OF，OB=OA，
由勾股定理得：BE²=OB²-OE²，AF²=OA²-OF²，
∴BE=AF，
∵AP=BQ，
∴PF=QE，
∵OE⊥AB，OF⊥AC 
∴∠OFP=∠OEQ=90°，
在Rt△OPF和Rt△OQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=QE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPF≌Rt△OQE，
∴∠P=∠Q，
∴O、A、P、Q四点共圆，即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．

点评 本题主要考查了四点共圆，涉及全等直角三角形的判定与性质及圆的有关知识，解题的关键是正确的作出辅助线得出Rt△OPF≌Rt△OQE．