Question

12．某拱桥的截面呈抛物线形，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图所示），抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²，水面AB到拱顶O的距离为2米．
（1）求水面宽AB是多少米？
（2）当水面从AB位置下降1米至CD位置时，连接AD、BC，求梯形ABCD的面积S（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）水面AB到拱顶O的距离为2米，即y=-2，求出此时抛物线上两点的横坐标，即可知AB的长；
（2）水面从AB位置下降1米至CD位置，可知C、D的纵坐标为-3，把y=-3代入y=-$\frac{1}{2}$x²，求出C、D的坐标可知CD的长度，根据梯形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵水面AB到拱顶O的距离为2米，
∴当y=-2时，-2=-$\frac{1}{2}$x²，
解得：x₁=-2，x₂=2，
∴A（-2，-2），B（2，-2），
∴AB=4，
∴水面宽AB是4米；
（2）∵水面从AB位置下降1米至CD位置，
∴点C、D的纵坐标均为-3，
当y=-3时，-3=-$\frac{1}{2}$x²，
解得：x₁=-$\sqrt{6}$，x₂=$\sqrt{6}$，
∴C（$\sqrt{6}$，-3），D（-$\sqrt{6}$，-3），
∴CD=2$\sqrt{6}$，
设AB、CD交y轴于点E、F，EF=1，
∴S=$\frac{1}{2}$（AB+CD）×EF=$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{6}$）×1=2+$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了二次函数的实际应用，审清题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．