Question

7．知识迁移：若a≥0，b≥0时，因为（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，所以a+b≥2$\sqrt{ab}$．当且仅当a=b时，“=”成立．由上述结论可知，若a≥0，b≥0且a=b时，代数式a+b的最小值是2$\sqrt{ab}$．
直接应用：已知函数y₁=2x（x＞0）与函数y₂=$\frac{2}{x}$（x＞0），则当x=1时，y₁+y₂取得最小值为4．
实际应用：某种小汽车在高速上行驶，若该小汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升，1小时的耗油量为y升，求该小汽车为多少时，每小时耗油量最少，并求出最小值．
变形应用：已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），求$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．

Answer 1

分析 直接应用：根据a+b≥2$\sqrt{ab}$得到y₁+y₂=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{2}{x}}$，于是得到2x=$\frac{2}{x}$时，y₁+y₂的最小值为4，然后求出x的值；
实际应用：先得到每小时耗油量（$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$）升，利用题中的不等式得到$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{18}•\frac{450}{x}}$，于是得到当$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$时，$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$的最小值为10，然后求出对应x的值；
变形应用：先计算出$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=x+1+$\frac{4}{x+1}$，利用题中的不等式得到x+1+$\frac{4}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$，于是得到x+1=$\frac{4}{x+1}$时，x+1+$\frac{4}{x+1}$的最小值为4，然后解方程x+1=$\frac{4}{x+1}$求出满足条件的x的值．

解答 解：直接应用：y₁+y₂=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{2}{x}}$，即当2x=$\frac{2}{x}$时，y₁+y₂的最小值为4，此时x=1；
故答案为1，4；
实际应用：每小时耗油量为x（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）=$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$，而$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{18}•\frac{450}{x}}$，所以当$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$时，$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$的最小值为10，此时x=90，
所以该小汽车为每小时90公理时，每小时耗油量最少，最小值为10升；
变形应用：$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}$=x+1+$\frac{4}{x+1}$，而x+1+$\frac{4}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$，所以x+1=$\frac{4}{x+1}$时，x+1+$\frac{4}{x+1}$的最小值为4，此时x=1，
所以当x=1时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值为4．

点评 本题考查了配方法的应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值，关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；记住若a≥0，b≥0时，a+b≥2$\sqrt{ab}$．当且仅当a=b时，“=”成立．