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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于AB两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(30),与y轴交于点C0-3),点P是直线BC下方的抛物线上一动点.1)求这个二次函数的表达式

2)连结POPC,并把POC沿CO翻折,得到四边形POP’C 那么是否存在点P,使四边形POP’C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大,并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

【答案】(1)(2)存在点P,使得四边形POPC为菱形,P点坐标为((3)P点的坐标为,四边形ABPC的面积最大为

【解析】

试题分析:(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;

(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POPC为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标;

(3)由于ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,BPC的面积最大;过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标

试题解析:(1)将B,C两点的坐标代入

得到

解得:

二次函数的表达式为:

(2)存在点P,使得四边形POPC为菱形。

设P点坐标为(x,),PP交CO于点D

四边形POPC为菱形

OD=DC,PPOC

C点为(0,-3)

D点为(0,

=

解得:(不合题意,舍去)

P点坐标为(

(3)过点P作x轴的垂线与OB交于点E, 与BC交于点F,

二次函数

点A为(-1,0)

Px),

易得直线BC的解析式为

则F点的坐标为(xx3.

=

时,四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积最大为

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