Question

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求△DEF的面积．

Answer 1

（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF
在△AED与△CFD中，，
∴△AED≌△CFD（ASA）．

（2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=6²+8²=100．
∴EF=10，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=100，
∴DE=DF=，
∴S_△DEF=×=25．
分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入S_△EDF=DE²进行求解．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．