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【题目】已知,如图AD为△ABC的中线,分别以ABAC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF,且AEABAFAC,连接EF,∠EAF+BAC180°

1)如图1,若∠ABE63°,∠BAC45°,求∠FAC的度数;

2)如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系?并证明你的结论;

3)如图2,设EFAB于点G,交AC于点R,延长FCEB交于点M,若点G为线段EF的中点,且∠BAE70°,请探究∠ACB和∠CAF的数量关系,并证明你的结论.

【答案】136°;2EF2AD,见解析;(3,见解析.

【解析】

1)由等腰三角形的性质得出∠AEB=ABE=63°,由三角形内角和定理得出∠EAB=54°,推出∠EAB+2BAC+FAC=180°,即可得出结果;

2)延长ADH,使DH=AD,连接BH,由中线的性质得出BD=CD,由SAS证得BDH≌△CDA得出HB=AC=AF,∠BHD=CAD,得出ACBH,由平行线的性质得出∠ABH+BAC=180°,证得∠EAF=ABH,由SAS证得ABH≌△EAF,即可得出结论;

3)由(2)得,AD=EF,又点GEF中点,得出EG=AD,由(2ABH≌△EAF得出∠AEG=BAD,由SAS证得EAG≌△ABD得出∠EAG=ABC=70°,由已知得出∠EAB+2BAC+CAF=180°,推出∠BAC=55°-CAF,由三角形内角和定理得出∠BAC=180°-ABC-ACB=110°-ACB,即可得出结果.

1)∵AEAB

∴∠AEB=∠ABE63°

∴∠EAB54°

∵∠BAC45°,∠EAF+BAC180°

∴∠EAB+2BAC+FAC180°

54°+2×45°+FAC180°

∴∠FAC36°

2EF2AD;理由如下:

延长ADH,使DHAD,连接BH,如图1所示:

AD为△ABC的中线,

BDCD

在△BDH和△CDA中,

∴△BDH≌△CDASAS),

HBACAF,∠BHD=∠CAD

ACBH

∴∠ABH+BAC180°

∵∠EAF+BAC180°

∴∠EAF=∠ABH

在△ABH和△EAF中,

∴△ABH≌△EAFSAS),

EFAH2AD

3;理由如下:

由(2)得,ADEF,又点GEF中点,

EGAD

由(2)△ABH≌△EAF

∴∠AEG=∠BAD

在△EAG和△ABD中,

∴△EAG≌△ABDSAS),

∴∠EAG=∠ABC70°

∵∠EAF+BAC180°

∴∠EAB+2BAC+CAF180°

即:70°+2BAC+CAF180°

∴∠BAC+CAF55°

∴∠BAC55°CAF

∵∠ABC+ACB+BAC180°

∴∠BAC180°﹣∠ABC﹣∠ACB180°70°﹣∠ACB110°﹣∠ACB

55°CAF110°﹣∠ACB

∴∠ACBCAF55°

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【题目】填写推理理由:

如图,CDEF1=2,求证:∠3=ACB

证明:∵CDEF

∴∠DCB=2           ),

∵∠1=2

∴∠DCB=1         ).

GDCB        ),

∴∠3=ACB      ).

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【题目】疫情期间福州一中初中部举行了宅家运动会.该学校七、八年级各有300名学生参加了这次宅家运动会,现从七、八年级各随机抽取20名学生宅家运动会的成绩进行抽样调查.

收集数据如下:

七年级:

74

97

96

72

98

99

72

73

76

74

74

69

76

89

78

74

99

97

98

99

八年级:

76

88

96

89

78

94

89

94

95

50

89

68

65

89

77

86

89

88

92

91

整理数据如下:

七年级

0

1

10

1

a

八年级

1

2

3

8

6

分析数据如下:

年级

平均数

中位数

众数

方差

七年级

84.2

77

74

138.56

八年级

84

b

89

129.7

根据以上信息,回答下列问题:

1______________________

2)你认为哪个年级宅家运动会的总体成绩较好,说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)

3)学校对宅家运动会成绩不低于80分的学生颁发优胜奖,请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有___________人.

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【题目】南中国海是中国固有领海,我渔政船经常在此海域执勤巡察.一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处,观察A岛周边海域.据测算,渔政船距A岛的距离AB长为10海里.此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰,船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船,便发出紧急求救信号.渔政船接警后,立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助,问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处?

(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)

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【题目】观察下列等式:

ab)(a+b)=a2b2

ab)(a2+ab+b2)=a3b3

ab)(a3+a2b+ab2+b3)=a4b4

利用你的发现的规律解决下列问题

1)(ab)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=   (直接填空);

2)(ab)(an1+an2b+an3b2…+abn2+bn1)=   (直接填空);

3)利用(2)中得出的结论求62019+62018+…+62+6+1的值.

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(1)在这次问卷调查中一共抽取了__________名学生,a=________%;

(2)请补全条形统计图;

(3)持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为__________度;

(4)若该校有3000名学生,请你估计该校学生对父母生育二孩子持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和.

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