Question

9．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的函数关系式；
（3）将函数$y=\frac{k}{x}$的图象沿y轴向上平移使其过点C′，得到图象L₁，直接说出图象L₁是否过点A′？

Answer 1

分析 （1）由正方形OABC的面积求出边长，进而确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由题意确定出F纵坐标与E横坐标，代入反比例解析式求出相应横坐标与纵坐标，确定出E与F坐标，利用待定系数法求出直线EF解析式即可；
（3）由题意确定出C′坐标，利用待定系数法求出平移后的反比例解析式，检验即可．

解答 解：（1）由题意得：OA=AB=2，即B（2，2），
代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4；
（2）由折叠的性质得：A′B=AB=AM=2，即A′A=4，OM=4，
∴F纵坐标为4，E横坐标为4，
把y=4代入y=$\frac{4}{x}$得：x=1；把x=4代入y=$\frac{4}{x}$得：y=1，
∴E（4，1），F（1，4），
设直线EF解析式为y=kx+b，
把E与F坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=5，
则直线EF解析式为y=-x+5；
（3）由题意得：A′（2，4），C′（4，2），
设平移后反比例解析式为y=$\frac{k′}{x}$，
把C′坐标代入得：k′=8，
∴平移后反比例解析式为y=$\frac{8}{x}$，
把x=2代入得：y=4，
则图象L₁是否过点A′．

点评 此题属于反比例综合题，涉及的知识有：正方形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数与反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．