Question

19．如图，在?ABCD中，AC=AD，⊙O是△ACD的外接圆，BC的延长线与AO的延长线交干E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB=8，AD=5，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）由已知得出$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，由垂径定理得出OA⊥CD，由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，因此OA⊥AB，即可得出结论；
（2）连接OD，由垂径定理得出CF=DF=4，由平行线得出△ADF∽△ECF，得出对应边成比例，证出AD=CE，AF=EF，得出BC=CE，BE=10，由勾股定理求出AE，得出AF=EF=3，设OE=x，则OF=3-x，⊙O的半径为6-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵AC=AD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴OA⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图所示：
∵OA⊥CD，
∴CF=DF=4，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AF}{EF}=\frac{DF}{CF}$=1，
∴AD=CE，AF=EF，
∴BC=CE，
∴BE=2BC=2AD=10，
∴AE=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AF=EF=3，
设OE=x，则OF=3-x，⊙O的半径为6-x，
由勾股定理得：OF²+DF²=OD²，
即（6-x）²=（3-x）²+4²，
解得：x=$\frac{11}{6}$，
即OE=$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查了切线的判定、垂径定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．