Question

10．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：点A与C关于直线BD对称．
（2）若∠ADC=90°，求证四边形MPND为正方形．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD，然后在△ABD和△CBD中，根据SAS证明两个三角形全等，进而得到∠ADB=∠CDB，AD=CD，根据等腰三角形的性质可得BD垂直平分AC，进而可得点A与C关于直线BD对称；
（2）首先证明四边形PMDN是矩形，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN，进而可得四边形MPND为正方形．

解答 证明：（1）连接AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠DCB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，DA=DC，
∴BD垂直平分AC，
∴点A与C关于直线BD对称；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形PMDN是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN，
∴四边形MPND为正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一，邻边相等的矩形是正方形．