Question

1．已知：在正方形ABCD中，对角线AC长为10，点A、C到直线l的距离均为3，则点B到直线l的距离为2或4或8．

Answer 1

分析 两种情况：①连接BD与AC相交于O，由正方形的性质得出OB=OD=5，容易得出点B到直线l的距离为2；同理在点D的另一侧还有直线满足条件，点B到直线l的距离为8；②连接BD与AC相交于O，l经过O；作BM⊥l于M，CN⊥l于N，则∠2+∠OCN=90°，由AAS证明△OBM≌△CON，得出BM=ON，由勾股定理求出即可．

解答 解：分两种情况：①如图1，连接BD与AC相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD=AC=10，
∴OB=OD=5，
∴直线l∥AC并且到DA、C的距离为3，
∴点B到直线l的距离为5-3=2；
同理，在点D的另一侧还有直线满足条件，点B到直线l的距离为5+3=8；
②如图2，连接BD与AC相交于O，l经过O；作BM⊥l于M，CN⊥l于N，
则∠2+∠OCN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OC=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠OCN，
在△OBM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠ONC=90°}&{\;}\\{∠1=∠OCN}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△CON（AAS），
∴BM=ON=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
即点B到直线l的距离为4，
同理，还有过点O的直线满足条件，点B到直线l的距离也为4；
综上所述：点B到直线l的距离为2或4或8．
故答案为：2或4或8．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；本题②中有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．