Question

12．已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT=AB，OT交⊙O于M

（1）如图1，BT交⊙O于E，求证：sin∠BTO=$\frac{BE}{2TO}$；
（2）如图2，若TC切⊙O于点C，求tan∠CBM的值．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥BT于F，根据等腰直角三角形的性质得出BF=EF=OF，再利用三角函数解答即可；
（2）根据切线的性质和平行线分线段成比例定理进行解答即可．

解答 解：（1）作OF⊥BT于F，则BF=EF=OF，

∴sin∠BTO=$\frac{OF}{OT}$=$\frac{\frac{1}{2}BE}{OT}$=$\frac{BE}{2OT}$
（2）∵BC∥OT，则∠CBM=∠BMO=∠ABM，作MN⊥AB于N，
∴tan∠AOT=$\frac{AT}{OA}$=2，
∴$\frac{MN}{ON}$=2，设ON=x，MN=2x，则OM=$\sqrt{5}$x=OB，
∴BN=（$\sqrt{5}$+1）x，
∴tan∠CBM=tan∠ABM=$\frac{MN}{BN}$=$\frac{2x}{（\sqrt{5}+1）x}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定和平行线分线段成比例定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．