Question

17．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC边于点E，∠C=2∠DAE，AC=11，AB=6，则CE=$\frac{55}{6}$．

Answer 1

分析 设∠DAE=α，H是△ABC的内心，连接BH、CH，由内心性质得∠AHB=90°+α，由直角三角形的外角证得∠AEC=90°+α，再由AE平分∠BAC，证得△AHB∽△AEC，得出$\frac{AE}{AH}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{11}{6}$，推出$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，由△AHC和△EHC等高，得出$\frac{{S}_{△EHC}}{{S}_{△AHC}}$=$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，再由S_△EHC=$\frac{1}{2}$CE•CHsinα，S_△AHC=$\frac{1}{2}$AC•CHsinα，即可得出结果．

解答 解：设∠DAE=α，则∠C=2α，
设H是△ABC的内心，连接BH、CH，如图所示：
由内心性质得：∠AHB=90°+α，
∵AD⊥BC，
∴∠AED=90°-α，
∴∠AEC=180°-∠AED=90°+α，
∴∠AHB=∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAH=∠CAE，
∴△AHB∽△AEC，
∴$\frac{AE}{AH}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，
∵△AHC和△EHC等高，
∴$\frac{{S}_{△EHC}}{{S}_{△AHC}}$=$\frac{HE}{AH}$=$\frac{5}{6}$，
∵S_△EHC=$\frac{1}{2}$CE•CHsinα，S_△AHC=$\frac{1}{2}$AC•CHsinα，
∴$\frac{{S}_{△EHC}}{{S}_{△AHC}}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{5}{6}$，
∴CE=$\frac{55}{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内心与性质、比例的性质、三角形面积的求法、三角函数等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，确定内心位置，并运用三角形面积的不同计算方法是解决问题的关键．