Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为2或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1，易得S_△EFP=$\frac{1}{2}$S_△BEP=$\frac{1}{2}$S_△A′EP，即可得到EF=$\frac{1}{2}$BE=BF，PF=$\frac{1}{2}$A′P=A′F．从而可得四边形A′EPB是平行四边形，即可得到BP=A′E，从而可求出BP；②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2，同理可得GP=BG，EG=$\frac{1}{2}$EA′=1，根据三角形中位线定理可得AP=2=AC，此时点P与点C重合（BP=BC），从而可求出BP．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，
∴AB=4，AE=$\frac{1}{2}$AB=2，BC=2$\sqrt{3}$．
①若PA′与AB交于点F，连接A′B，如图1．

由折叠可得S_△A′EP=S_△AEP，A′E=AE=2，．
∵点E是AB的中点，
∴S_△BEP=S_△AEP=$\frac{1}{2}$S_△ABP．
由题可得S_△EFP=$\frac{1}{4}$S_△ABP，
∴S_△EFP=$\frac{1}{2}$S_△BEP=$\frac{1}{2}$S_△AEP=$\frac{1}{2}$S_△A′EP，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=BF，PF=$\frac{1}{2}$A′P=A′F．
∴四边形A′EPB是平行四边形，
∴BP=A′E=2；
②若EA′与BC交于点G，连接AA′，交EP与H，如图2．
．
同理可得GP=$\frac{1}{2}$BP=BG，EG=$\frac{1}{2}$EA′=$\frac{1}{2}$×2=1．
∵BE=AE，∴EG=$\frac{1}{2}$AP=1，
∴AP=2=AC，
∴点P与点C重合，
∴BP=BC=2$\sqrt{3}$．
故答案为2或2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．