Question

14．长宽比为$\sqrt{n}：1$（n为正整数）的矩形称为$\sqrt{n}$矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个$\sqrt{2}$矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=$\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{BF}{AB}$，即$\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{BF}{1}$，∴$BF=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$．∴$BC：BF=1：\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}：1$．
∴四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH、DG，tan∠HBC的值是$\sqrt{2}$-1；
（2）已知四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN为$\sqrt{3}$矩形；
（3）将图②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“$\sqrt{n}$矩形”，则n的值是6．

Answer 1

分析 （1）设CH=GH=DG=x，根据DC=DH+CH=1，列出方程即可求出HC，然后运用三角函数的定义求出tan∠HBC的值．
（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形”的方法就可解决问题．
（3）利用（2）中结论，寻找规律可得到n的值．

解答 解：（1）如图①中，由折叠可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
设HC=x，则DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，
∴DH=$\sqrt{2}$x，
∴DC=DH+CH=$\sqrt{2}$x+x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1．
∴tan∠HBC=$\frac{HC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：GH、DG，$\sqrt{2}-1$；
（2）如图②中，∵BC=1，EC=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，
即BP•BF=BE•BN，
∴1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BN，
∴BN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BC：BN=1：$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$：1，
∴四边形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形；
（3）同理可得：
将$\sqrt{3}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{4}$矩形”，
将$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{5}$矩形”，
将$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{6}$矩形”，
所以将图②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“$\sqrt{6}$矩形”．
故答案为6．

点评 本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是中考创新题型．