Question

1．如图，在菱形OABC中，点A落在x轴正半轴，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，以AD为一边向右作菱形AEFD，点E落在x轴上．已知∠AOC=30°，OA•AE=12，则菱形OABC的面积与菱形AEFD的面积差是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点C作CM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图，易得CM=$\frac{1}{2}$OA，DN=$\frac{1}{2}$AE，OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．由点C、点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上可得OM•CM=ON•DN，从而可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA•$\frac{1}{2}$OA=（OA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE）•$\frac{1}{2}$AE，整理可得OA²-AE²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OA•AE，即可求出OA²-AE²，就可求出菱形OABC的面积与菱形AEFD的面积差．

解答 解：过点C作CM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图，

∵四边形OABC和四边形AEFD是菱形，
∴OC=OA，AD=AE，OC∥AB，
∴∠DAE=∠COA=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OA，DN=$\frac{1}{2}$DA=$\frac{1}{2}$AE，
∴OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．
∵点C、点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，
∴OM•CM=ON•DN，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA•$\frac{1}{2}$OA=（OA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE）•$\frac{1}{2}$AE，
整理可得OA²-AE²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OA•AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×12=8$\sqrt{3}$，
∴S_菱形OABC-S_菱形AEFD=$\frac{1}{2}$OA•OA-$\frac{1}{2}$AE•AE=$\frac{1}{2}$（OA²-AE²）=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，由点C、点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，得到OM•CM=ON•DN，是解决本题的关键．