Question

【题目】如图，矩形的对角线相交于点，，．

求证：四边形是菱形；

若，菱形的面积为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形；

（2）利用矩形和菱形的性质易得OM=，CM=CD，OM=BC，再利用菱形的面积公式求得OM，即可得出结论．

（1）∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，∴OD=OC，∴四边形CODE是菱形．

（2）连接OE．

∵四边形CODE是菱形，∴OE⊥CD，OM=，CM=CD．

∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥CD，∴OM∥BC，∴OM=BC．

∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠OCM=∠BAC．

∵tan∠BAC=，∴tan∠OCM==，设OM=3x，则CM=2x．

∵菱形OCED的面积为12，∴6x4x=12，∴x=±（负值舍去），∴OM=，∴BC=3．