Question

【题目】在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．

（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：

①AC与BD的数量关系为　 　；

②∠AMB的度数为　 　；

（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：

①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；

②求∠AMB的度数；

（3）在（2）的条件下，当∠CAB＝30°，且点C与点M重合时，请直接写出OD与OA之间存在的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①AC＝BD；②40°；（2）①AC＝BD，理由见解析；②90°；（3）OD＝OA或OD＝OA

【解析】

（1）证明△BOD≌△AOC，得AC=BD，∠OBD＝∠OAC，再利用内角和定理求∠AMB的度数；

（2）类比（1）证明△BOD≌△AOC，得AC=BD，∠OBD＝∠OAC，再利用内角和定理求∠AMB的度数；

（3）根据条件可知D、B、C三点共线，画出两种情况的图形，利用（2）中结论及根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理将AC、BC均用AB表示，进而推出CD与AB的关系，再根据CD=OD，AB=OA,即可得出OD与OA的数量关系

（1）如图1所示，

①∵∠AOB＝∠COD

∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD

∴∠BOD＝∠AOC

在△BOD和△AOC中

∴△BOD≌△AOC（SAS）

∴AC＝BD.

故答案为：AC＝BD；

②∵△BOD≌△AOC

∴∠OBD＝∠OAC

∵∠AOB＝40°，

∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°

又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD

∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，

∴∠MAB+∠ABM＝140°

∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，

∴∠AMB＝40°

故答案为：40°；

（2）如图2所示，

①AC＝BD，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，

∴∠BOD＝∠AOC，

在△BOD和△AOC中

，

∴△BOD≌△AOC（SAS）

∴BD＝AC

②∵△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

又∵∠OAB+∠OBA＝90°，

∠ABO＝∠ABM+∠OBD，

∠MAB＝∠MAO+∠OAB，

∴∠MAB+∠MBA＝90°，

又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，

∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°；

（3）如图3所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∠CAB＝30°，

∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝45°，AB＝OA，CD＝ OC，

由（2）得△BOD≌△AOC（SAS）

∴∠ACO＝∠BDO＝45°，BD＝AC

∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°

∴∠ACB＝90°

∴BC＝AB

由勾股定理得：AC＝＝AB

∴CD＝AC﹣BC＝AB

∴OC＝×OA

∴OD＝OC＝OA．

如图4，同上由勾股定理得：AC＝＝AB

∴CD＝AC+BC＝AB

∴OC＝×OA

∴OD＝OC＝OA．

综上所述，OD＝ OA或OD＝OA．