Question

【题目】已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在直线BC，AC上.

(1)如图1，当BD=CE时，连接AD与BE交于点P，则线段AD与BE的数量关系是____________;∠APE的度数是_______________；

(2)如图2，若“BD=CE”不变，AD与EB的延长线交于点P，那么(1)中的两个结论是否仍然成立?请说明理由.

(3)如图3，若AE=BD，连接DE与AB边交于点M，求证:点M是DE的中点.

Answer 1

【答案】（1）AD＝BE；∠APE＝60°；（2）成立，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）利用等边三角形的性质和SAS可证△ABD≌△BCE，可得AD=BE，∠BAD=∠CBE，进一步即可求出∠APE的度数；

（2）同（1）的思路可证△ABD≌△BCE，从而可得AD=BE，∠BAD=∠CBE，再利用角的转化和三角形的内角和即可求出∠APE的度数，进而可得结论；

（3）如图3，过点E作EF∥BC交AB于点F，易得△AEF是等边三角形，再利用AAS证明△MEF≌△MDB，问题即得解决.

解：（1）AD＝BE；∠APE＝60°.

理由是：如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

又∵BD=CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，

又∵∠APE=∠BAD+∠ABE，

∴∠APE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°；

（2）结论：“AD＝BE，∠APE＝60°”仍然成立.

理由如下：如图2，∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC=∠ACB＝60°，

∴∠ABD=∠BCE＝120°，

又BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠BAD=∠CBE，

∵∠ABP+∠CBE＝180°－∠ABC＝120°，

∴∠ABP+∠BAD＝120°，

∴∠APE＝180°－120°＝60°.

（3）证明：如图3，过点E作EF∥BC交AB于点F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB＝60°，

∴∠AFE=∠AEF＝60°，

则△AEF是等边三角形，

∴EF＝AE＝BD，

又∠EFM＝∠DBM，∠EMF＝∠DMB，

∴△MEF≌△MDB（AAS），

∴EM＝DM，即点M是DE的中点.