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    20．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=4cm，BC=3cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀
    逨运动，速度为1cm/s，过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）
    （0＜t＜4）．解答下列问题：
    （1）当t为何值时，四边形PQAM是矩形？
    （2）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM=$\frac{9}{50}$S矩形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

    分析 （1）首先根据四边形ABCD是矩形，求出AC的长度是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△APQ∽△ACB，即可推得$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AC}$，据此求出t的值是多少即可．
    （2）存在t=2，使S四边形PQAM=$\frac{9}{50}$S矩形ABCD．首先根据四边形ABCD是矩形，求出S矩形ABCD的值是多少；然后分别求出△APM、△APQ的面积各是多少，再根据S四边形PQAM=$\frac{9}{50}$S矩形ABCD，求出t的值是多少即可．
    （3）当t=2$\frac{2}{9}$或1$\frac{7}{9}$时，△APQ与△ABC相似．根据题意，分两种情况讨论：①当∠AQP=90°时，△APQ与△ABC相似；②当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似；求出当t为何值时，△APQ与△ABC相似即可．

    解答 解：（1）如图1，，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
    ∵四边形PQAM是矩形，
    ∴PQ⊥AB，
    又∵CB⊥AB，
    ∴PQ∥CB，
    ∴△APQ∽△ACB，
    ∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AC}$，
    即$\frac{4-t}{4}=\frac{t}{5}$，
    解得t=2$\frac{2}{9}$，
    ∴当t为2$\frac{2}{9}$时，四边形PQAM是矩形．

    （2）存在t=2，使S四边形PQAM=$\frac{9}{50}$S矩形ABCD．
    如图2，，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴S矩形ABCD=AB•BC=4×3=12，
    ∵PM⊥AD，CD⊥AD，
    ∴PM∥CD，
    ∴△APM∽△ACD，
    ∴$\frac{AM}{AD}=\frac{PM}{CD}=\frac{AP}{AC}$，
    即$\frac{AM}{3}=\frac{PM}{4}=\frac{t}{5}$，
    解得AM=$\frac{3}{5}t$，PM=$\frac{4}{5}$t，
    ∴S△APM=$\frac{1}{2}$AM•PM=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}t$×$\frac{4}{5}t$=$\frac{6}{25}$t2．
    ∵sin∠PAQ=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
    ∴S△APQ=$\frac{1}{2}$AP•AQ•sin∠PAQ=$\frac{1}{2}$t（4-t）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{10}$t（4-t），
    ∵S四边形PQAM=$\frac{9}{50}$S矩形ABCD，
    ∴$\frac{6}{25}$t2+$\frac{3}{10}$t（4-t）=$\frac{9}{50}$×$12=\frac{54}{25}$，
    整理，可得
    t2-20t+36=0
    解得t=2或t=18（舍去），
    ∴存在t=2，使S四边形PQAM=$\frac{9}{50}$S矩形ABCD．

    （3）当t=2$\frac{2}{9}$或1$\frac{7}{9}$时，△APQ与△ABC相似．
    ①由（1），可得
    当t=2$\frac{2}{9}$时，∠AQP=90°，PQ∥CB，△APQ与△ABC相似．

    ②如图3，，
    当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似，
    ∵tan∠PAQ=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
    ∴$\frac{PQ}{AP}=\frac{3}{4}$，
    即$\frac{PQ}{t}=\frac{3}{4}$，
    ∴PQ=$\frac{3}{4}$t，
    ∵BQ=t，
    ∴AQ=4-t，
    在Rt△APQ中，
    ∵AP2+PQ2=AQ2，
    ∴${t}^{2}{+（\frac{3}{4}t）}^{2}{=（4-t）}^{2}$，
    解得t=1$\frac{7}{9}$或t=-16（舍去）．
    综上，可得
    当t=2$\frac{2}{9}$或1$\frac{7}{9}$时，△APQ与△ABC相似．

    点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
    （2）此题还考查了矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

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