Question

8．在直角坐标系xoy中，已知抛物线$y=-\frac{{3\sqrt{3}}}{20}（{x^2}-\frac{17}{3}x-2）$．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）记抛物线与x轴的右交点为B，点A（1，$\sqrt{3}$）在抛物线上，P、Q两质点分别从A、B两点同时出发，P质点沿AO方向，行驶速度为a个单位/秒、Q质点沿BO方向，行驶速度为2个单位/秒．
①1秒后，P质点到达M点，Q质点到达N点．若要使△OMN与△OAB相似，P质点的行驶速度可以是多少？
②当P质点到达直线OA与抛物线的另一个交点C时，两质点停止行驶．若P质点的行驶速度与Q质点的相同，
记线段MN的平方（MN²）为点M、N的超级距离、t为行驶时间．当t等于多少秒时，质点P、Q之间的超级距离最小．

Answer 1

分析 （1）将解析式写成交点式，即可直接得出交点坐标；
（2）若要使△OMN与△OAB相似，即PQ∥AB时，利用线段比例关系算出AP长度，就可求出速度．
（3）由于点P可以在OA上，也可以在OC上，故分两个时间段分别表示出PQ²，配方求出最小值．注意，在两个范围均求出一个最小值，取最小的一个作为最终答案．

解答 解：（1）∵$y=-\frac{3\sqrt{3}}{20}（{x}^{2}-\frac{17}{3}x-2）$=$-\frac{\sqrt{3}}{20}（3{x}^{2}-17x-6）$=$-\frac{\sqrt{3}}{20}（3x+1）（x-6）$，
∴抛物线与x轴的交点为（-$\frac{1}{3}$，0），（6，0），
（2）
①BQ=2，AP=a，
若要使△OMN与△OAB相似，只有一种可能，就是PQ∥AB时，
此时，$\frac{AP}{AO}=\frac{BQ}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴AP=$\frac{2}{3}$，
∴a=$\frac{2}{3}$．
②由（1）知B（6，0），
∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴OA=2，OA的解析式为：y=$\sqrt{3}$x，∠AOB=60°，
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=-\frac{3\sqrt{3}}{20}（{x}^{2}-\frac{17}{3}x-2）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴C（-2，-2$\sqrt{3}$），
∴OC=4，
∴AC=6，
①当0≤t≤1时，P在OA上，如图1，

作PH⊥OQ于H，则PA=2t，BQ=2t，OQ=6-2t，OP=2-2t，OH=1-t，PH=$\sqrt{3}$（1-t），HQ=5-t，
∴PQ²=PH²+HQ²=3（1-t）²+（5-t）²=4t²-16+28=4（t-2）²+12，
当t=1时，PQ²最小值为16，

②当1≤t≤3时，P在OC上，如图2，

作PG⊥x轴于点G，则OP=2t-2，OQ=6-2t，OG=t-1，PG=$\sqrt{3}$（t-1），GQ=5-t，
∴PQ²=PG²+GQ²=3（t-1）²+（5-t）²=4t²-16+28=4（t-2）²+12，
当t=2，PQ²最小值为12，
综上所述，当t=2时，质点P、Q之间的超级距离最小，最小值为12．

点评 本题考查了二次函数的交点式、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数、勾股定理，配方法求二次函数最值等重要知识点，难度中等，注意分类讨论思想的应用．