Question

2．△ABD与△EBC都是等腰直角三角形，AD、CE为斜边，延长EA、DC交于点F．
（1）求证：∠AEB=∠DCB；
（2）求∠BEC的度数；
（3）求证：EF⊥DF．

Answer 1

分析 （1）欲证明∠AEB=∠DCB，只要证明△EAB≌△CBD即可．
（2）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）根据四边形内角和360°，只要证明∠CBE+∠F=180°即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠EBC，
∴∠EBA=∠CBD，
在△EBA和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=CB}\\{∠EBA=∠CBD}\\{BA=BD}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△CBD，
∴∠AEB=∠BCD．

（2）解：∵CB=BA，∠EBC=90°，
∴∠BEC=∠BCE=45°．

（3）证明：∵∠AEB=∠BCD，∠BCD+∠BCF=180°，
∴∠AEB+∠BCF=180°，
∴∠CBE+∠F=180°，
∵∠CBE=90°，
∴∠F=90°，
∴EF⊥DF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、四边形内角和等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．