Question

17．如图，直线l经过A（-3，0），B（0，6），过原点O的直线l₁与直线l交于点P，使直线l、直线l₁与坐标轴围成的三角形面积是△ABO的三分之一，则点P的坐标是（-4，-2）或（-2，2）或（-1，4）．

Answer 1

分析 先求直线AB的解析式，设P（m，2m+6），分两种情况进行讨论：当直线l₁分别在一、三象限或二、四象限时，根据直线l₁与坐标轴围成的三角形面积是△ABO的三分之一列等式可求得结论．

解答 解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，0），B（0，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=2x+6，
∵A（-3，0），B（0，6）
∴AO=3，OB=6
设P（m，2m+6），
①当直线l₁经过一、三象限时，如图1，点P在第三象限，
过P作PE⊥x轴于E，
∵S_△AOP=$\frac{1}{3}{S}_{△AOB}$，
∴$\frac{1}{2}$AO•PE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$AO•BO，
∴PE=$\frac{1}{3}$OB，
-2m-6=$\frac{1}{3}$×6，
m=-4，
当m=-4时，2m+6=2×（-4）+6=-2；
此时P（-4，-2）；
②当直线l₁经过二、四象限时，如图2，点P在第二象限，
过P作PE⊥x轴于E，过P作PF⊥y轴于F，
若S_△APO=$\frac{1}{3}$S_△AOB时，
则$\frac{1}{2}$OA•PE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$AO•BO，
PE=$\frac{1}{3}$OB，
2m+6=$\frac{1}{3}$×6，
m=-2，
当m=-2时，2m+6=2×（-2）+6=2，
∴P（-2，2），
若S_△BPO=$\frac{1}{3}$S_△AOB时，
则$\frac{1}{2}$OB•PF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$OA•OB，
PF=$\frac{1}{3}$OA，
-m=$\frac{1}{3}$×3，
m=-1，
当m=-1时，2m+6=-2+6=4，
∴P（-1，4），
综上所述，则点P的坐标是（-4，-2）或（-2，2）或（-1，4）．

点评 本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的交点问题，在本题中，利用解析式表示直线上点的坐标，这在函数题中经常运用，要熟练掌握；对于直线与坐标轴围成的面积，利用数形结合的思想，并采用了分类讨论的方法，才使本题得以解决．