Question

10．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=15°，BC=2$\sqrt{2}$，求AB及AC的长．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于E，则∠CDA=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2CD，AD=$\sqrt{3}$CD，由三角形的外角性质得出△CBD是等腰直角三角形，得出CD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2，得出AD=2$\sqrt{3}$，AC=2CD=4，得出AB=AD-BD=2$\sqrt{3}$-2．

解答 解：作CD⊥AB于E，如图所示：
则∠CDA=90°，
∵∠A=30°，
∴AC=2CD，AD=$\sqrt{3}$CD，
∵∠CBD=∠A+∠ACB=45°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，AC=2CD=4，
∴AB=AD-BD=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线构造直角三角形才能得出结果．