Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；
（3）已知一定点M（-2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0），
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6．
∴点C的坐标为（0，6）．
设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n，则
，
解得．
∴经过点B和点C的直线的解析式为：y=-3x+6．
∵点E在直线y=h上，
∴点E的坐标为（0，h）．
∴OE=h．
∵点D在直线y=h上，
∴点D的纵坐标为h．
把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．
解得x=．
∴点D的坐标为（，h）．
∴DE=．
∴S_△BDE=•OE•DE=•h•=-（h-3）²+．
∵-＜0且0＜h＜6，
∴当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是．

（3）存在符合题意的直线y=h．
设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p，则
，
解得．
故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6．
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．
解得x=．
∴点F的坐标为（，h）．
在△OFM中，OM=2，OF=，MF=．
①若OF=OM，则=2，
整理，得5h²-12h+20=0．
∵△=（-12）²-4×5×20=-256＜0，
∴此方程无解．
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，则=，
解得h=4．
把y=h=4代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=4，
解得x₁=-2，x₂=1．
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（-2，4）．
③若MF=OM，则=2，
解得h₁=2，h₂=-（不合题意，舍去）．
把y=h₁=2代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=2．
解得x₁=，x₂=．
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（，2）．
综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（-2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．
分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先利用待定系数法求得经过点B和点C的直线的解析式，由题意可得点E的坐标为（0，h），则可求得点D的坐标为（，h），则可得S_△BDE=•OE•DE=•h•=-（h-3）²+，然后由二次函数的性质，即可求得△BDE的面积最大；
（3）分别从①若OF=OM，则=2、②若OF=MF，则=与③若MF=OM，则=去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．