Question

16．如图1所示，直线y=-x+9与x轴、y轴交于B、A两点，直线y=-$\frac{2}{3}$x-4与x轴、y轴交于C、D两点，E（4，0），直线l过B点且垂直于x轴，P是直线l上一点（与B点不重合），连结CP．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）设M是CP的中点，若ME=5，猜想∠CME的度数，并说明理由；
（3）如图2所示，连结PE，求△PCE外接圆面积的最小值，并求△PCE外接圆面积最小时，圆心G的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-x+9与y轴交于A点，直线y=-$\frac{2}{3}$x-4与x轴交于C点，分别求出A、C两点的坐标各是多少即可．
（2）猜想∠CME=90°．首先过M作MN⊥x轴于点N，分别求出CN、NE的值各是多少；然后判断出$\frac{ME}{CE}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{NE}{ME}$=$\frac{1}{2}$，推得$\frac{ME}{CE}$=$\frac{NE}{ME}$，再根据∠MEC=∠NEM，判断出△MCE∽△NME，即可推得∠CME=∠MNE=90°．
（3）首先作线段CE的垂直平分线FH，交AB于点F，交CE于点H，则圆心G在FH上，且点H的横坐标为-1，设点G的坐标为（-1，m），求出△PCE的外接圆的半径GP的长度的最小值，即可求出△PCE的外接圆面积的最小值；然后在Rt△GHE中，应用勾股定理，求出m的值，即可求出△PCE外接圆面积最小时，圆心G的坐标是多少．

解答 解：（1）∵直线y=-x+9与y轴交于A点，
∴令x=0，则y=9，
∴A（0，9）；
∵直线y=-$\frac{2}{3}$x-4与x轴交于C点，
∴令y=0，则x=-6，
∴C（-6，0）．

（2）猜想∠CME=90°．
如图1，过M作MN⊥x轴于点N，，
∵PB⊥x轴，MN⊥x轴，
∴MN∥PB，
又∵M是CP的中点，
∴MN是△PBC的中位线，
∴点N是BC的中点，
∵C（-6，0），B（9，0），
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×（6+9）=$\frac{15}{2}$，
∴NE=CE-CN=（6+4）-$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{ME}{CE}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{NE}{ME}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{ME}{CE}$=$\frac{NE}{ME}$，
又∵∠MEC=∠NEM，
∴△MCE∽△NME，
∴∠CME=∠MNE=90°．

（3）如图2，作线段CE的垂直平分线FH，交AB于点F，交CE于点H，，
则圆心G在FH上，且点H的横坐标为-1，
设点G的坐标为（-1，m），
则△PCE的外接圆的半径为GP，
∴当△PCE的外接圆面积取最小值时，线段GP长度取最小值，
根据点到直线距离的定义，当GP⊥PB时，GP的长度最短，
此时四边形GHBP为矩形，GP=HB=GE=HO+OB=1+9=10，
∴△PCE外接圆面积的最小值是：
π•（GP）²=π•10²=100π．
在Rt△GHE中，HE=HO+OE=1+4=5，
由勾股定理，可得：GH²=GE²-HE²，
∴m²=10²-5²=75，
∴m=±5$\sqrt{3}$，
∴点G的坐标为（-1，5$\sqrt{3}$）或（-1，-5$\sqrt{3}$）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了三角形的外接圆的性质和应用，以及圆的面积的求法，要熟练掌握．