Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．半径为1的圆的圆心P以1个单位/S的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）．
（1）当t为何值时，⊙P与AB相切；
（2）作PD⊥AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E．求当t为何值时，四边形PDBE为平行四边形．

Answer 1

解：（1）∵过P作PH⊥AB于H，
又∵⊙P与AB相切，
∴PH=1，
∴∠AHP=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△APH∽△ABC，…
∴，
∵△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴，
∴AP=，
∴当t=时，⊙P与AB相切；…

（2）∵PD⊥AC，∠C=90°，
∴PD∥BE，
∴当PE∥AB时，四边形PDBE为平行四边形．
∴△CPE∽△CAB，
∴，
∴，
∴CP=，
∴AP=AC-CP=，
∴当t=时，四边形PDBE为平行四边形．…

分析：（1）首先过P作PH⊥AB于H，由⊙P与AB相切，可得PH=1，易证得△APH∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，可得，继而求得AP的长；即可得当t为何值时，⊙P与AB相切；
（2）由PD⊥AC，∠C=90°，可证得PD∥BC，继而可得当PE∥AB时，四边形PDBE为平行四边形，则可得△CPE∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CP的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．