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    17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$与直线AC交于另一点B，点B坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）．
    （1）求直线和抛物线的解析式；
    （2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，垂足为点Q，交抛物线于点D，
    ①当PD=PC时，求点P的坐标．
    ②在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=$\frac{3}{2}$，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tan∠NAQ-tan∠MPQ=$\frac{3}{4}$，求线段PN的长．

    分析 （1）先利用y=kx+3确定C点坐标，然后把C点和B点坐标代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
    （2）①先把B点坐标代入y=kx+3求出k得到直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，如图1，利用一次函数图象和二次函数图象上点的坐标特征可设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），则D（t，$\frac{1}{2}$t2-t+3），再用t分别表示出PD和PC，则利用PD=PC可得到关于t的方程，然后得到关于t的两个一元二次方程，再解方程求出满足条件的t的值，从而得到P点坐标；
    ②如图2，先利用直线AB的解析式确定A点坐标，设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），Q（t，0），则可用t表示PQ和AQ，再利用三角函数的定义得关于t的方程，然后解方程可求出PN的长．

    解答 解：（1）当x=0时，y=kx+3=3，则C（0，3），
    把C（0，3），B（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{\frac{1}{2}×\frac{49}{4}+\frac{7}{2}b+c=\frac{45}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$
    所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x+3；
    （2）①把B（$\frac{7}{2}$，$\frac{45}{8}$）代入y=kx+3得$\frac{7}{2}$k+3=$\frac{45}{8}$，解得k=$\frac{3}{4}$，
    所以直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
    如图1，设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），则D（t，$\frac{1}{2}$t2-t+3），
    所以PD=|$\frac{1}{2}$t2-t+3-（$\frac{3}{4}$t+3）|=|$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t|，
    而PC=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{3}{4}t+3-3）^{2}}$=$\frac{5}{4}$t，
    因为PD=PC，
    所以|$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t|=$\frac{5}{4}$t，
    当$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t=$\frac{5}{4}$t时，解得t1=0（舍去），t2=6，此时P点坐标为（6，$\frac{15}{2}$）；
    当$\frac{1}{2}$t2-$\frac{7}{4}$t=-$\frac{5}{4}$t时，解得t1=0（舍去），t2=1，此时P点坐标为（1，$\frac{15}{4}$）；
    综上所述，满足条件的P点坐标为（6，$\frac{15}{2}$）或（1，$\frac{15}{4}$）；
    ②如图2，当y=0时，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，则A（-4，0），
    设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），Q（t，0），则PQ=$\frac{3}{4}$t+3，AQ=t+4，
    在Rt△NAQ中，tan∠NAQ=$\frac{NQ}{AQ}$=$\frac{NP+\frac{3}{4}t+3}{t+4}$，
    在Rt△NMQ中，tan∠MPQ=$\frac{QM}{PQ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}t+3}$，
    而tan∠NAQ-tan∠MPQ=$\frac{3}{4}$，
    所以$\frac{NP+\frac{3}{4}t+3}{t+4}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}t+3}$，
    所以PN=2．

    点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会解一元二次方程．

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    ①求2014年社区购买药品的费用；
    ②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的$\frac{1}{4}$，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的$\frac{1}{7}$，求2015年该社区健身家庭的户数．

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    （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
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    （3）如图2，连接BD，点P为BD的中点，点Q是线段BC上的一个动点，连接DQ，PQ，将△DPQ沿PQ翻折得到△D′PQ，当△D′PQ与△BCD重叠部分的面积是△BDQ面积的$\frac{1}{4}$时，求线段CQ的长．

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    （1）求出二次函数的表达式；
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    ①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；
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    7．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，则立柱BC，DE要多长？

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