Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形

(1) 如图1，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED＝EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF，猜想线段AB、DB、AF之间的数量关系

(2) 点E在线段BA的延长线上，其他条件与(1)中的一致，请在图2上将图形补充完整，并猜想证明线段AB、DB、AF之间的数量关系

Answer 1

【答案】（1）猜想：AB=AF+BD；（2）AB=AF-BD；

【解析】

(1) 猜想：AB=AF+BD ;(2) 首先根据点E在线段BA的延长线上，在图2的基础上将图形补充完整，然后判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判断出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AF=AB+BD即可．

（1）猜想：AB=AF+BD；

(2) 猜想：AB=AF-BD，

如图,

，

ED=EC=CF，

∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF=EC，

又∵ED=EC，

∴ED=EF，

∵AB=AC，BC=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

又∵∠CBE=∠CAF，

∴∠CAF=60°，

∴∠EAF=180∠CAF∠BAC=180°60°60°=60°

∴∠DBE=∠EAF；

∵ED=EC，

∴∠ECD=∠EDC，

∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，

又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，

∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，

∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，

∴∠BDE=∠AEF，

在△EDB和△FEA中，

∴△EDB≌△FEA(AAS)

∴BD=AE，EB=AF，

∵BE=AB+AE，

∴AF=AB+BD，

即AB，DB，AF之间的数量关系是：

AB=AF-BD.