Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=OB，AC=AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．
（1）求点C的坐标；
（2）用含a的代数式表示NP；
（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵一次函数y=x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∴OD=OB=2，AC=AB=，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE==，
∴OE=OA-AE=6-=，
∴点C的坐标为：（，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴，
解得：NP=；

（3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：
过点D作DQ∥AB交OA于Q，则
=，即=，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．
分两种情况讨论：
①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴，
∴，
解得：OP=，
∴PD=OP-OD=，
∴PM²=PD²+DM²=（）²+（6-a）²=．
由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况：
当PM=MN时，=4，解得a₁=4.08，a₂=6（不合题意，舍去）；
当PM=PN时，=（）²，解得a=5.25（不合题意，舍去）；
②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴，
∴，
解得：OP=，
∴PD=OD-OP=，
∴PM²=PD²+DM²=（）²+（6-a）²=．
当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况：
当PM=MN时，=4，解得a₁=4.08，a₂=6（均不合题意，舍去）；
当PM=PN时，=（）²，解得a=5.25；
当PN=MN时，=2，解得a=4.8．
综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．
分析：（1）先求出一次函数y=x+8的图象与x轴，y轴的交点A、B的坐标，得到OA=6，OB=8，由勾股定理求出AB=10，再由已知条件得出CE=OD=2，AC=，运用勾股定理求出AE，进而得到点C的坐标；
（2）先由OD=OB，AC=AB，证明NP∥AB，再根据平行线分线段成比例定理得出，即可用含a的代数式表示NP；
（3）因为由已知条件得出a=4.5时，点P与点D重合，所以分两种情况讨论：①0≤a＜4.5，②4.5＜a＜6，两种情况都可以先由NP∥AB，得出，则用含a的代数式表示出OP，求出PD，再由勾股定理表示出PM²，然后根据腰长相等列出关于a的方程，解方程检验即可．
点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：平面直角坐标系中点的坐标的求法，勾股定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，注意问题（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解，这是解决本题的关键．