Question

1．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，-4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过线段MN的中点A，
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线的解析式；根据已知求得A点的坐标，然后把A代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0）即可求得解析式；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义得出S_△OBC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，进而得出S_△ONP=3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，设P点的坐标为（a，b）（a＞0），根据S_△ONP=$\frac{1}{2}$ON•x_P=$\frac{1}{2}$×4×a=$\frac{9}{2}$，即可求得a的值，进而求得P的坐标．

解答 解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，
∵直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴直线l的解析式y=$\frac{4}{3}$x-4，
∵A点是线段MN的中点，
∴A点的坐标（$\frac{3}{2}$，-2），
代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0）求得，k=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{x}$．
（2）∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，△ONP的面积是△OBC面积的3倍，
∴S_△ONP=3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$
∵N（0，-4），
∴ON=4，
设P点的坐标为（a，b）（a＞0），
∴S_△ONP=$\frac{1}{2}$×4×a=$\frac{9}{2}$，
∴a=$\frac{9}{4}$，
∴b=$\frac{4}{3}$×$\frac{9}{4}$-4=-1，
∴P（$\frac{9}{4}$，-1）．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．