Question

13．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tan∠OBC=$\frac{2}{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）只需按照题目的要求画图即可；
（2）①过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示，只需证明OD=OC即可；②在Rt△OBC中，运用三角函数可求出$\frac{OC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，从而得到$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，易证Rt△ADO∽Rt△ACB，运用相似三角形的性质可求得AD=8，然后在Rt△ADO中运用勾股定理即可解决问题．

解答 解：（1）如图，⊙O即为所求作；

（2）AB与⊙O相切，理由如下：
过点O作OD⊥AB，垂足为D，如图所示．
∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC．
∵BO是∠ABC的平分线，OD⊥AB，OC⊥BC，
∴OC=OD．
∴AB与⊙O相切；

（3）在Rt△OBC中，
tan∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{2}{3}$．
又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴Rt△ADO∽Rt△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴AD=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{2}{3}$×12=8．
设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，AO=12-r．
在Rt△ADO中，
根据勾股定理可得r²+8²=（12-r）²，
解得r=$\frac{10}{3}$，
∴⊙O的半径是$\frac{10}{3}$．

点评 本题是一道操作探究题，考查了切线的判定、角平分线的性质、三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，注重对动手能力、推理能力、运算能力的考查，是一道好题．