Question

8．已知△ABC中，AB=AC，BC=20，D是AB上一点，且CD=16，BD=12，
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求三角形ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由BC=20，CD=16，BD=12，计算得出BD²+DC²=BC²，根据勾股定理的逆定理即可证明CD⊥AB；
（2）设AD=x，则AC=x+12，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．

解答 解：（1）在△BCD中，BC=20，CD=16，BD=12，
∵BD²+DC²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；

（2）设AD=x，则AC=x+12，
在Rt△ADC中，∵AC²=AD²+DC²，
∴x²+16²=（x+12）²，
解得：x=$\frac{14}{3}$．
∴△ABC的周长为：（$\frac{14}{3}$+12）×2+20=$\frac{160}{3}$．

点评 本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度，难度一般．