Question

20．如图，在△ABE中，点C在AE上，AB=AC=5，∠CBE=$\frac{1}{2}$∠A，sin∠CBE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BE的长．

Answer 1

分析 作AM⊥BC，CN⊥BN，根据等腰三角形的性质求出BC的长，证明CN∥AB，根据平行线的性质，得到成比例线段，求出NE的长，得到答案．

解答 解：作AM⊥BC，CN⊥BN，
∵AB=AC，∠CBE=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BAM=$\frac{1}{2}$∠A=∠CBE，
∴BM=MC=5×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$，
∴BC=2$\sqrt{5}$，CN=2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2，
∴BN=$\sqrt{{BC}^{2}-C{N}^{2}}$=4，
易知∠1=∠2∴∠NEC=∠BAC，
∴CN∥AB，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{NE}{4+NE}$，得NE=$\frac{8}{3}$，
∴BE=4+$\frac{8}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴BC=2$\sqrt{5}$，BE=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线，构造直角三角形运用锐角三角函数进行解答是解题的关键．