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    【题目】综合与探究

    如图1，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，反比例函数（）的图象经过点，并与线段交于点，反比例函数（）的图象经过点，交轴于点．已知．

    （1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；

    （2）直接写出点的坐标 ；

    （3）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点，设点的坐标为

    ①当时，求的值；

    ②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

    【答案】（1）D（4，4）；（x>0）；（2）E（-3，）；（3）①m=5；②存在，P点坐标为（0，4+）或（0，4-）.

    【解析】

    （1）把A（-1，a）代入，可求出a的值，即可得A点坐标，根据B点坐标，利用勾股定理可求出AB的长，根据菱形的性质可知AB=AD，即可得D点坐标，把D点坐标代入（x>0），即可求出k值，即可得答案；（2）根据A、B坐标可得直线AB的解析式，联立即可求出E点坐标；（3）①由MN//x轴，P（0，m），可得M、N的坐标为M（，m），N（，m），根据MN=OB列方程即可求出m的值；②根据坐标可求出AE的长，即可得AP的长，由AG=1，利用勾股定理即可求出PG的长，即可得答案.

    (1)过A作AQ⊥x轴于Q，

    ∵A在反比例函数上，

    ∴a==4，

    ∴A点坐标为（-1，4），

    又∵B（-4，0），

    ∴BQ=3，

    ∴AB==5，

    又∵四边形ABCD为菱形，

    ∴AB=AD=5，

    ∴D（4，4），

    又∵D在反比例函数（x>0）上，

    ∴k=4×4=16，

    ∴反比例函数的表达式为

    (2)设直线AB的解析式为y=kx+b,代入A、B坐标得：，

    解得，

    ∴直线AB的解析式为y=x+，

    联立反比例函数y=得，

    解得：，（舍去）

    ∴E点坐标为（-3，），

    （3）①∵B（-4，0）

    ∴OB=4，

    ∵MN//x轴，P（0，m），

    ∴M（，m），N（，m）

    ∴

    ∵MN=OB

    ∴MN==4

    ∴m=5

    ②∵A（-1，4），E（-3，），

    ∴AE==，

    ∴AP=AE=，

    ∵G（0，4），

    ∴AG=1，

    ∴PG====，

    ∴m=4+或m=4-，

    ∴存在某一时刻，使，P点坐标为（0，4+）或（0，4-）.

    练习册系列答案
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    成绩(分)

    36

    37

    38

    39

    40

    41

    42

    43

    44

    45

    46

    47

    48

    49

    50

    人数

    1

    2

    3

    3

    6

    7

    5

    8

    15

    9

    11

    12

    8

    6

    4

    成绩分组

    频数

    频率(百分比)

    35≤x<38

    3

    0.03

    38≤x<41

    a

    0.12

    41≤x<44

    20

    0.20

    44≤x<47

    35

    0.35

    47≤x≤50

    30

    b

    请根据所提供的信息解答下列问题：

    (1)频率统计表中a＝________，b＝_______；

    (2)请补全频数分布直方图；

    (3)请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？

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