【题目】定义:在三角形中,把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距.
例:如图①,在△ABC中,D为边BC的中点,AE⊥BC于E,则线段DE的长叫做边BC的中垂距.
(1)设三角形一边的中垂距为d(d≥0).若d=0,则这样的三角形一定是________,推断的数学依据是________.
(2)如图②,在△ABC中,∠B=45°,AB=,BC=8,AD为边BC的中线,求边BC的中垂距.
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4.点E为边CD的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F,连结AC.求△ACF中边AF的中垂距.
【答案】(1)等腰三角形;线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等;(2)1;(3).
【解析】试题分析:(1)根据线段的垂直平分线的性质即可判断。
(2)如图②中,作AE⊥BC于E.根据已知得出AE=BE,再求出BD的长,即可求出DE的长。
(3)如图③中,作CH⊥AF于H,先证△ADE≌△FCE,得出AE=EF,利用勾股定理求出AE的长,然后证明△ADE∽△CHE,建立方程求出EH即可。
解:(1)等腰三角形;线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等
(2)解:如图②中,作AE⊥BC于E.
在Rt△ABE中,∵∠AEB=90°,∠B=45°,AB=3 ,
∴AE=BE=3,
∵AD为BC边中线,BC=8,
∴BD=DC=4,
∴DE=BD﹣BE=4﹣3=1,
∴边BC的中垂距为1
(3)解:如图③中,作CH⊥AF于H.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°,AD∥BF,
∵DE=EC,∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△FCE,
∴AE=EF,
在Rt△ADE中,∵AD=4,DE=3,
∴AE= =5,
∵∠D=EHC,∠AED=∠CEH,
∴△ADE∽△CHE,
∴ = ,
∴ = ,
∴EH= ,
∴△ACF中边AF的中垂距为
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【题目】如图1,是等腰直角三角形,,,点P在的边上沿路径移动,过点P作于点D,设,的面积为(当点P与点B或点C重合时,y的值为0).
琪琪根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是琪琪的探究过程,请补充完整:
(1)自变量x的取值范围是______________________;
(2)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
y/ | 0 | m | 2 | n | 0 |
请直接写出 , ;
(3)在图2所示的平面直角坐标系中,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图像;并结合画出的函数图像,解决问题:当的面积为1时,请直接写出的长度(数值保留一位小数).
(4)根据上述探究过程,试写出的面积为y与的长度x cm之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
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【题目】已知直线,直线与、分别交于C、D两点,点P是直线上的一动点.
(1)如图,若动点P在线段CD之间运动(不与C、D两点重合),问在点P的运动过程中是否始终具有这一相等关系?试说明理由;
(2)如图,当动点P在线段CD之外且在的上方运动(不与C、D两点重合),则上述结论是否仍成立?若不成立,试写出新的结论,并说明理由;
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【题目】如图是某学校高中两个班的学生上学时步行、骑车、乘公交、乘私家车人数的扇形统计图,已知乘公交人数是乘私家车人数的2倍.若步行人数是18人,则下列结论正确的是( )
A. 被调查的学生人数为90人
B. 乘私家车的学生人数为9人
C. 乘公交车的学生人数为20人
D. 骑车的学生人数为16人
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为.动点P在抛物线上运动(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线,交直线AB于点Q.当PQ不与y轴重合时,以PQ为边作正方形PQMN,使MN与y轴在PQ的同侧,连结PM.设点P的横坐标为m.
(1)求b、c的值.
(2)当点N落在直线AB上时,直接写出m的取值范围.
(3)当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时,设正方形PQMN的周长为C,求C与m之间的函数关系式,并写出C随m增大而增大时m的取值范围.
(4)当△PQM与坐标轴有2个公共点时,直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=12cm,BC=24cm,如果将该矩形沿对角线BD折叠,那么图中阴影部分的面积( )cm2.
A.72 B.90 C.108 D.144
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【题目】某校举行“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个,比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果,以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分
组别 | |||||
正确字数 | |||||
人数 | 10 | 15 | 25 |
根据以上信息解决下列问题:
1)在统计表中, , ,并补全条形统计图.
(2)扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是 .
(3)若该校共有900名学生,如果听写正确的个数少于24个定为不合格,请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数
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【题目】如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE,已知∠B=30°,⊙O的半径为12,弧DE的长度为4π.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若AF=CE,求线段BC的长度.
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