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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+3与抛物线交于AB两点,点Ax轴上,点B的横坐标为.动点P在抛物线上运动(不与点AB重合),过点Py轴的平行线,交直线AB于点Q.当PQ不与y轴重合时,以PQ为边作正方形PQMN,使MNy轴在PQ的同侧,连结PM.设点P的横坐标为m

1)求bc的值.

2)当点N落在直线AB上时,直接写出m的取值范围.

3)当点PAB两点之间的抛物线上运动时,设正方形PQMN的周长为C,求Cm之间的函数关系式,并写出Cm增大而增大时m的取值范围.

4)当PQM与坐标轴有2个公共点时,直接写出m的取值范围.

【答案】(1) ;(2)m<﹣或0<m<3;(3)C=﹣2(m﹣2+,﹣<m<且m≠0;(4)m<﹣.

【解析】试题分析:(1)先确定出点AB的坐标,最后用待定系数法即可得出结论。

(2)点P在抛物线上,点Q在直线y=﹣x+3上,点N在直线AB上,设出点P的坐标,再表示出QN的坐标,即可得出PN=PQ,再用MNy轴在PQ的同侧,建立不等式即可得出结论。

(3)点P在点AB之间的抛物线上,根据(2)可知PQ的长,设正方形PQMN的周长为C,根据C=4PQ,建立Cm的函数关系式,求出其顶点坐标,根据二次函数的性质,即可求得结论。

(4)分两种情况讨论计算即可求出结论。

(1)解:∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点A,

∴A(3,0),

∵点B在直线y=﹣x+3上,且B的横坐标为﹣

∴B(﹣ ),

∵A,B在抛物线上,

(2)解:方法1、由(1)知,b= ,c=

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+

设P(m,﹣ m2+ m+ ),

∵点Q在直线y=﹣x+3上,

∴Q(m,﹣m+3),

∵点N在直线AB上,

∴N(( m2m﹣ ),(﹣ m2+ m+ )),

∴PN=| m2m﹣ ﹣m|=| m2m﹣ |

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣(﹣m+3)|=|﹣ m2+ m+ |,

∵四边形PQMN时正方形,

∴PN=PQ,

∴| m2m﹣ |=|﹣ m2+ m+ |,此时等式恒成立,

当m<0且m≠﹣ 时,

∵MN与y轴在PQ的同侧,

∴点N在点P右侧,

m2m﹣ >m,

∴m<﹣

当m>0且m≠3时,

∵MN与y轴在PQ的同侧,

∴点P在点N的右侧,

m2m﹣ <m,

∴﹣ <m<3,

∴0<m<3,

即:m的范围为m<﹣ 或0<m<3;

方法2、如图,

记直线AB与y轴的交点为D,

∵直线AB的解析式为y=﹣x+3,

∴D(0,3),

∴OD=3,

∵A(3,0),

∴OA=3,

∴OA=OB,

∴∠ODA=45°,

∵PQ∥y轴,

∴∠PQB=45°,

记:直线PN交直线AB于N',

∵四边形PQMN是正方形,

∴∠QPN=90°,

∴∠PN'Q=45°=∠PQN',

∴PQ=PN',

∵四边形PQMN是正方形,

∴PQ=PN,

点N在点P的左侧时,点N'都在直线AB上,

∵MN与y轴在PQ的同侧,

∴m的范围为m<﹣ 或0<m<3

(3)解:由(1)知,b= ,c=

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+

设P(m,﹣ m2+ m+ ),

∵点Q在直线y=﹣x+3上,

∴Q(m,﹣m+3),

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣(﹣m+3)|=|﹣ m2+ m+ |,

∵点P在点A,B之间的抛物线上,

∴PQ=﹣ m2+ m+ ,(﹣ <m<3且m≠0),

∵设正方形PQMN的周长为C,

∴C=4PQ=4(﹣ m2+ m+ )=﹣2m2+ m+2=﹣2(m﹣ 2+

∵C随m增大而增大,

∴m<

∴﹣ <m< 且m≠0

(4)解:当△PQM与坐标轴有2个公共点时,

∴m<0或0<m<3

当0<m<3,PN>yP

由(2)知,P(m,﹣ m2+ m+ ),PQ=|﹣ m2+ m+ |=﹣ m2+ m+

∵四边形PQMN是正方形,

∴PN=PQ=﹣ m2+ m+ >﹣ m2+ m+

∴m>3,所以,此种情况不符合题意;

当m<0时,PN>yP

∵PQ= m2m﹣

∵四边形PQMN是正方形,

∴PN=PQ= m2m﹣ >﹣ m2+ m+

∴m>3(舍)或m<﹣

即:当△PQM与坐标轴有2个公共点时,m<﹣ .

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B.

C.

D.

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